FPB dan KPK

 FPB adalah singkatan dari Faktor persekutuan terbesar. Dalam Bahasa inggris FPB disebut juga GCD (Great common divisor). Untuk mencari FPB ada 3 cara yang bisa digunakan :

  • Dengan membandingkan faktor-faktornya yang bisa didapat dengan membagi bilangan yang kita cari faktornya dengan 1, 2 dan seterusnya. Ini dapat dipahami jika kita tahu bahwa suatu bilangan adalah hasil perkalian dari Faktor-faktornya. Perhatikan gambar dibawah ini dan cari hasil perkalian dari setiap bilangan yg saya hubungkan. Hasil perkalian dari faktor atau bilangan yg dihubungkan adalah angka yg memiliki faktor tersebut.
  • Faktorisasi prima ( https://id.wikipedia.org/wiki/Faktorisasi_prima ) dengan pohon Faktor. 
  • Algoritma Euclidean.

Semoga saja penjelasan saya dengan gambar untuk menjelaskan cara pertama mencari FPB sudah cukup jelas.

Pohon Faktor

Saya akan menjelaskan cara berikutnya, yaitu mencari FPB dengan menggunakan pohon faktor. Pohon faktor digunakan untuk mencari Faktor prima. Pada pohon faktor bilangan akan dibagi terus menerus dengan faktor primanya mulai dari faktor prima terkecil yang bisa membagi bilangan tersebut.

Bilangan akan di bagi dengan faktor primanya mulai dari yang terkecil, kemudian hasilnya dibagi lagi dengan faktor prima yang sama selama hasilnya bisa dibagi dengan faktor prima tersebut. Jika kalian tidak tahu mana yang disebut faktor prima kalian bisa membaginya dengan semua bilangan mulai dari 2 dan seterusnya. Faktor prima dan pangkatnya, bisa digunakan untuk mencari FPB sekaligus KPK.

Pada contoh gambar di bawah ini kita mencari FPB 36, 120 dan 180 dengan pohon faktor.




Pada contoh di atas, hal yang pertama dilakukan adalah membuat pohon Faktornya. Kemudian kita menuliskan semua faktor prima yang digunakan dengan pangkatnya dalam bentuk perkalian. Setelah kita mencari Faktorisasi prima dari semua bilangan yang dicari FPB-nya, kita bisa mencari FPB-nya. Sekarang, kita tuliskan hasil "perkalian faktor prima" dari masing-masing pohon faktor.

  • 36 = 22 x 32
  • 120 = 23 x 3 x 5
  • 180= 22 x 32 x 5

Untuk mencari FPB ambil faktor prima yang dimiliki semua bilangan dengan pangkat terkecil. Pada contoh di atas, 2 adalah faktor prima yang dimiliki semua bilangan. Pangkat terkecil dari 2 yang ada pada masing-masing "perkalian faktor prima" adalah "2". Karena itu kita ambil 2, dan mengabaikan 2 dengan pangkat lainnya.

Faktor prima lain yang merupakan faktor dari semua bilangan adalah 3, dan pangkat terkecilnya adalah "1". Bilangan yang tidak berpangkat pangkatnya sama dengan "1". 5 tidak digunakan karena 5 bukan faktor prima dari 36. Jadi, faktor prima beserta pangkat yang kita gunakan adalah  22 dan 3.


FPB dari 36, 120 dan 180 = 22 x 3 = 4 x 3 = 12.

kalian bisa membuktikan FPB tiga bilangan tersebut dengan membagi semua bilangan dengan 12. Jika semua bilangan bisa habis dibagi dengan 12, maka memang benar 12 adalah FPB dari 36, 120 dan 180. Untuk memastikannya, kalian bisa mencari bilangan di atas 12 yang bisa dibagi 2 bilangan tersebut.

Algoritma Euclidean

Untuk mencari FPB dengan algoritma Euclidean kita harus memahami penggunaan operator modulus / sisa hasil bagi. Operator modulus menghasilkan pengurangan bilangan dengan bilangan terdekat yang bisa dibagi oleh pembagi. Kalian bisa menemukan operator modulus di kalkulator scientific.

Misalnya, "26 mod 3 = 26 – 24 = ( 26 - ( 8 x 3 )) = 2".

Algoritma Euclidean menggunakan operator modulus untuk mencari sisa hasil bagi dari bilangan pertama dan kedua. Kemudian proses diulang dengan menukar bilangan kedua menjadi bilangan pertama dan hasil dari modulus sebagai bilangan kedua. Proses diulang terus menerus dan bilangan pertama dibagi dengan bilangan kedua selama hasilnya belum sama dengan "0". Untuk lebih mudahnya perhatikan gambar di bawah ini. 

Gambar di atas menunjukkan cara mencari FPB dari 120 dan 88.